Un matemático de la RUDN ha propuesto como trivializar el modelo de matemática de transportación de sustancia a través de la pared de la célula

El matemático de la RUDN propuso una nueva esquema de la solución numérica de las ecuaciones de exponentes fraccionarios de los operadores elípticos. La nueva esquema funciona más rápido que las anteriores, ya que considera las propiedades de solución de dichas ecuaciones en unos puntos específicos. Los resultados pueden ser útiles en los cálculos de procesos de difusión, por ejemplo, la penetración de líquido en el medio poroso, el transporte de nutrientes a través de la pared de célula y rupturas en los materiales elásticos. La investigación fue publicada en la revista Computers & Mathematics with Applications.

La ecuación de difusión clásica es una ecuación de derivadas parciales que describe el proceso de la difusión de la sustancia en algún ambiente. La solución de la ecuación es la función desde el tiempo t y punto x que muestra la concentración u (t,x) de la sustancia (que estamos estudiando) en el punto x en el momento de tiempo t. Si el ambiente es homogéneo, la ecuación de difusión contiene el primer derivado en t desde u y la suma de segundos derivados desde u en las coordenadas. Esta suma se llama operador laplaciano y se usa en las diferentes áreas de matemáticas y física, desde la teoría de funciones complejas hasta la ecuación de Shrödinger.

El matemático Petr Vabishchevich, el empleado de Centro científico de métodos de computación en la matemática aplicada de la RUDN, y sus colegas estudiaron la versión de la ecuación de difusión fraccionaria donde el operador laplaciano se toma en el exponente fraccionario. Este exponente se calcula mediante la formula, que es cómodo desde el punto de vista teórico, pero no vale en absoluto para los cálculos. Al mismo tiempo, los cálculos prácticos relacionados con las soluciones son una tarea importante para las aplicaciones.

Si la solución de la ecuación en modo general es complicada, los matemáticos usan métodos numéricos, para la ecuación de difusión fraccionaria tradicionalmente se usan unos de ellos. Por ejemplo, en uno de ellos la solución del problema llega a solución sucesiva de unos sistemas que se llaman sistemas locales. Estos sistemas tienen propiedades elípticas, es decir, estas ecuaciones recuerdan a ecuaciones de difusión sin exponente fraccionario. Estos sistemas se solucionan bien numéricamente. No obstante, cuando de estas soluciones se necesita “armar” un aproximado del problema inicial, las partes “no se empalman” muy bien. En unas partes la solución es muy exacta al problema inicial, en otras – muy diferente.

(Foto: RUDN)

Petr Vabishchevich y su colega eligieron un camino nuevo llevando la solución de la ecuación de difusión fraccionaria hasta unos sistemas locales. Los sistemas recibidos no tenían propiedades elípticas y, en cierto modo, eran peores. Además, el sistema incluyó las funciones con ruptura que para los problemas numéricos significa una solución baja. A pesar de ello, en este caso particular se averiguó que la elección correcta de escalón en el tiempo para el cálculo junto con la elección exitosa del mismo sistema permite obtener una solución numérica que se aproxima bastante a la solución del problema inicial.

Además, se averiguó que el método propuesto por los matemáticos de la RUDN a menudo funciona más rápido que sus análogos. Esto pasa porque en la nueva esquema el tránsito hacia la solución aproximada se realiza en el último paso. En los otros métodos la aproximación se realiza en varias etapas, lo que lleva a la acumulación de faltas en los cálculos. El nuevo método no tiene este problema.

Las ecuaciones de difusión fraccionaria describen, así llamada, difusión irregular: se trata de la difusión, por ejemplo, de líquido en el medio poroso, medio con las rupturas. Además, la difusión fraccionaria describe el transporte de los nutrientes dentro de la célula y en los tejidos en general. Estas ecuaciones en modo general no son solubles, por lo tanto, los científicos utilizan aproximaciones numéricas en su trabajo, es decir, soluciones aproximadas. El nuevo método de los matemáticos de la RUDN permitirá realizar los cálculos más rápido en muchos casos. (Fuente: RUDN)