Un matemático de la RUDN ha encontrado una manera de simplificar el modelado del crecimiento de cristales

Un matemático de la RUDN (Rusia) ha demostrado la ausencia de soluciones a las desigualdades diferenciales funcionales asociadas con la ecuación de Kardar-Parisi-Zhang (KPZ), una ecuación estocástica en derivadas parciales que se produce al describir el crecimiento de la superficie. Las condiciones obtenidas para la ausencia de soluciones ayudarán en los estudios del crecimiento de polímeros, la teoría de las redes neuronales y las reacciones químicas. El artículo fue publicado en el Journal of Complex Variables and Elliptic Equations.

La principal dificultad con las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales es que muchas de ellas no se resuelven precisamente. Para fines prácticos, tales ecuaciones se resuelven numéricamente, y las preguntas sobre la existencia y la unicidad de sus soluciones se convierten en problemas sobre los cuales los científicos han estado luchando durante décadas, y a veces siglos. Uno de estos problemas, la existencia y la suavidad de las soluciones de las ecuaciones de Navier-Stokes, se incorporó en la famosa lista de Problemas del Milenio, para cada uno de los cuales el Instituto Clay de Matemáticas de los Estados Unidos promete un premio de $1 millón.

Cualquier ecuación en derivadas parciales se da en un determinado campo, por ejemplo, en un superficie, en una pelota o en algún espacio. Por lo general, la solución de tales ecuaciones se pueden encontrar en un pequeño vecindario de un punto: local. Pero al mismo tiempo, puede que no esté claro cómo buscar una solución global para toda la región.

Otro problema de las ecuaciones no lineales en derivadas parciales: sus soluciones pueden "explotar", es decir, de repente tender al infinito en intervalos de tiempo finitos. Cuando esto sucede, significa que no hay una solución global. Por el contrario, si no existe una solución global, significa que cualquier solución local encontrada también debe explotar en algún lugar. Por lo tanto, es importante buscar las condiciones bajo las cuales no hay ningún solución global.

(Foto: RUDN)

Los matemáticos luchan con este problema usando las desigualdades diferenciales. El fondo del método es que, de la ecuación original en derivadas parciales, se puede obtener algunas desigualdades no estrictas que serán "más fuertes" que la ecuación original. Entonces, si alguna función no satisface estas desigualdades, ciertamente no es una solución global de la ecuación original.

Fue el método de desigualdades utilizado por el matemático de la Universidad RUDN Andrei Muravnik. Generalizó los teoremas existentes para el caso cuasilineal que surgía en el estudio de la ecuación KPZ.

Las condiciones obtenidas ayudan no solo a limitar el conjunto de posibles soluciones de la ecuación KPZ, sino que también son necesarias para resolver algunos problemas que surgen en la práctica. En particular, estos resultados ayudan a resolver los problemas de crecimiento de la superficie al modelar el comportamiento de los cristales y polímeros, y también se pueden usar en la teoría de las redes neuronales.

El método de desigualdades predecirá teóricamente el comportamiento discontinuo de los sistemas físicos descritos por la ecuación KPZ. Así aparecerá la capacidad de sacar conclusiones sobre las propiedades físicas de estos sistemas. Además, este método puede ayudar en los problemas de la prolongabilidad de las soluciones locales. Estos métodos se necesitan cuando los métodos computacionales ya no funcionan. Problemas similares surgen en la teoría de flujos de tráfico, reacciones químicas con difusión, así como en el modelado de ciertas transiciones de fase.

En los últimos años, se ha desarrollado la teoría de la ausencia de soluciones globales a problemas no lineales. Un artículo de Andrei Muravnik continúa esta tendencia. La inexistencia condicional de soluciones es interesante no solo desde un punto de vista teórico, sino también porque ayudará a los científicos en el estudio de muchos problemas aplicados. En el futuro cercano, los resultados del matemático RUDN pueden ser aplicados en la física matemática aplicada. (Fuente: RUDN)