Un matemático de la RUDN descubrió las condiciones para la estabilización de las desigualdades diferenciales de orden superior

Un matemático de la Universidad RUDN (Rusia), junto con un colega, determinaron las condiciones para la estabilización de las desigualdades diferenciales, que son de alto orden. Este resultado nos permitirá obtener restricciones en las soluciones de ecuaciones que describen algunos procesos físicos, como los procesos de difusión y los procesos de convección. Este artículo fue publicado en la revista Asymptotic Analysis.

El interés en las desigualdades diferenciales se debe a la gran cantidad de problemas de modelado matemático que surgen en las ciencias naturales, así como a la resolución de problemas técnicos y físicos. A menudo, se requiere definir varias funciones conectadas por varias desigualdades diferenciales. Para esto, es necesario tener el mismo número de desigualdades. Si cada una de estas desigualdades es diferencial, es decir, tiene la forma de una relación que conecta funciones desconocidas y sus derivadas, entonces hablamos de un sistema de desigualdades diferenciales. Los sistemas de desigualdades diferenciales describen procesos físicos reales con cierto grado de precisión (por ejemplo, los dispositivos que registran fenómenos físicos no son perfectos y tienen algún error). Puede resultar que un pequeño error en los datos iniciales provoque cambios significativos en la resolución de la desigualdad. Por lo tanto, es importante establecer restricciones en las soluciones de ecuaciones diferenciales.

Andrei Shishkov, del Instituto de Matemáticas de la Universidad RUDN de Nikolsky, y Andrei Konkov, de la Universidad Estatal de Moscú, que lleva el nombre de M.V. Lomonosov han obtenido el resultado que generaliza la clásica condición de Keller-Osserman para ecuaciones diferenciales. El teorema de Keller-Osserman contiene condiciones para la ausencia de soluciones positivas para desigualdades elípticas no lineales de segundo orden. Este teorema sirve como base para los estudios de la ausencia de soluciones de ecuaciones y desigualdades. Además, para los operadores diferenciales de alto orden, todos los estudios previamente conocidos se limitaron al caso de la no linealidad de potencia. El caso de la no linealidad arbitraria se estudió solo para operadores de segundo orden. Los matemáticos estudiaron las desigualdades diferenciales de orden superior y su resultado es aplicable a una amplia clase de problemas: ecuaciones de segundo y tercer orden.

(Foto: RUDN)

Los resultados pueden aplicarse tanto a las desigualdades parabólicas como a las llamadas antiparabólicas. Las ecuaciones parabólicas están muy extendidas en física: son, por ejemplo, ecuaciones que describen los procesos de convección, difusión y su caso particular: la ecuación del calor; el sistema de ecuaciones Navier-Stokes que describe el movimiento de líquidos y gases es un sistema de ecuaciones parabólicas con restricciones divergentes.

Las cuestiones que los autores consideraron en el estudio se estudiaron previamente, principalmente para operadores diferenciales de segundo orden, y el caso de los operadores de orden superior se ha estudiado mucho menos. Los matemáticos investigaron las desigualdades diferenciales de orden superior y obtuvieron suficientes condiciones de estabilización para las llamadas soluciones débiles de desigualdades diferenciales (soluciones débiles). Además, no se imponen las condiciones iniciales para las soluciones de la desigualdad diferencial investigada. Los autores tampoco imponen condiciones de elipticidad en los coeficientes del operador diferencial. (Fuente: RUDN)